【シミュレーションでわかる】化学プロセスのカスケード制御とは

タンクとオイルの熱バランスから、時間発展の式を立てることができます。

タンクの熱バランス

タンク水の熱容量は$3000(\text{kg})\times{4}(\text{kJ/kg・K})$$=12000(\text{kJ/K})$

タンクの材質から、$1\text{m}^2,1\unicode{x2103}$あたりの熱移動量は$\frac{20(\text{W/m・K})}{0.05(\text{m})}=24(\text{kJ/hr・m}^2\text{・K})$

タンク⇒外の伝熱面積が$10\text{m}^2$、オイル⇒タンクの伝熱面積が$5\text{m}^2$であるので、タンク水の温度変化は次の式で表すことができます。

$12000\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{タンク}=$$-240(\Delta{T}_{タンク}-\Delta{T}_{外})$$+120(\Delta{T}_{オイル}-\Delta{T}_{タンク})$

整理すると$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{タンク}=$$-\frac{3}{100}\Delta{T}_{タンク}+\frac{1}{100}\Delta{T}_{外}+\frac{2}{100}\Delta{T}_{外}$です。

オイル熱バランス

オイルの熱容量は$600(\text{kg})\times{2}(\text{kJ/kg・K})$$=1200(\text{kJ/K})$

直流$100(\text{V})$ヒーターの電流値が$\Delta{I}_{ヒーター}(\text{A})$変わると、電力は$100\Delta{I}_{ヒーター}(\text{W})$$=360\Delta{I}_{ヒーター}(\text{kJ/hr})$変化します。したがって、ヒーター電流値変化によるオイルの温度変化は次の式になります。

$1200\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{オイル}=$$360\Delta{I}_{ヒーター}$

整理すると$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{オイル}=\frac{3}{10}\Delta{I}_{ヒーター}$です。

ヒーター電流値制御

タンク水温設定値$\Delta{T}_{タンク}^{\text{set}}$と実測値$\Delta{T}_{タンク}$とのずれ$\Delta{e}_{タンク}$を用いて、ヒーター電流値$\Delta{I}_{ヒーター}$を$\Delta{I}_{ヒーター}^{\text{set}}=0.5\Delta{e}_{タンク}$で変更します。

ブロック線図を作ると次のようになります。

外気温がステップ状に$5\unicode{x2103}$上昇するので、$\Delta{T}_{外}=\frac{5}{s}$として$\Delta{T}_{タンク}$について解くと$\Delta{T}_{タンク}(s)=2.801\frac{0.0357}{(s+0.015)^2+0.0357^2}$と変形できます。逆ラプラス変換を行うと$\Delta{T}_{タンク}(t)=2.801e^{-0.015t}\sin(0.0357t)$になります。

タンクの熱バランス

通常制御と同じく$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{タンク}$$=-\frac{3}{100}\Delta{T}_{タンク}+\frac{1}{100}\Delta{T}_{外}+\frac{2}{100}\Delta{T}_{外}$になります。

オイル熱バランス

通常制御と同じく$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Delta{T}_{オイル}=\frac{3}{10}\Delta{I}_{ヒーター}$になります。

オイル設定値の制御

タンク水温設定値$\Delta{T}_{タンク}^{\text{set}}$と実測値$\Delta{T}_{タンク}$とのずれ$\Delta{e}_{タンク}$を用いて、オイル設定値を$\Delta{T}_{オイル}^{\text{set}}=50\Delta{e}_{タンク}$で変更します。

ヒーター電流値制御

タンク水温設定値$\Delta{T}_{オイル}^{\text{set}}$と実測値$\Delta{T}_{オイル}$とのずれ$\Delta{e}_{オイル}$を用いて、ヒーター電流値を$\Delta{I}_{ヒーター}^{\text{set}}=0.5\Delta{e}_{オイル}$で変更します。

ブロック線図を$\Delta{T}_{タンク}$について解くと$\Delta{T}_{タンク}(s)=\frac{2}{(100s+3)(s+0.15)+7.5}\Delta{T}_{外}(s)$になります。（$\Delta{T}_{タンク}^{\text{set}}=0$とする）

外気温が外乱で$5\unicode{x2103}$上昇した場合、$\Delta{T}_{タンク}=\frac{5}{s}$になるので、これを代入して整理すると、$\Delta{T}_{タンク}(s)=0.1886[\frac{1}{s}$$-\frac{s+0.09}{(s+0.09)^2+0.2672^2}+1.647\frac{0.2672}{(s+0.09)^2+0.2672^2}]$になります。

逆ラプラス変換で$\Delta{T}_{タンク}(t)$にもどすと、$\Delta{T}_{タンク}(t)=0.1886[1-e^{-0.09t}$$(\cos(0.2672t)+1.647\sin(0.2672t))]$になります。