【化学工学】ブロック線図の伝達関数はプロセス関係式由来です

2024年6月24日2024年7月7日

化学プロセスの制御を調べる際、ブロック線図が利用されますが、ブロック線図は抽象的でイメージが湧かない方も多いかと思います。

たとえば、伝達関数G(s)や外乱D(s)が具体的にどのような関数になっていて、どのように作るかイメージできていますか？

このページでは、簡単なプロセスを使って具体的にブロック線図を作成し、化学プロセスのマテリアルバランスやヒートバランスなどから伝達関数などが作成されることをご紹介します。

このページで紹介すること

化学工学のブロック線図の作成例
逐次シミュレーションとブロック線図による計算結果
ブロック線図を使う理由

ブロック線図は抽象的でわかりにくい？

ブロック線図とは、センサーやバルブによるプロセス制御をブロックと線で表現するものです。

しかし、教科書では$C(s)$や$G(s)$などのように操作が抽象的に与えられていることも多く、イメージしにくいことも多いです。

ブロック線図は$G(s)$やら$D(s)$やら出てくるけど、なんだか取っつきにくいよ。。

結論としては、ブロック線図の伝達要素$G(s)$や$C(s)$などは、そのプロセス制御の関係式（ヒートバランスなど）をラプラス変換した係数に由来します。このページでは簡単なプロセス例を通してブロック線図の$G(s)$などがどのように作られるかをお伝えします。

プロセス制御を逐次シミュレーションで解こう

簡単な制御例として、タンク中の水温を制御するプロセスを考えましょう。

定常状態では、入口から$20\unicode{x2103}$で入った液体がタンクのスチームコイルによって$40\unicode{x2103}$まで温められ、タンクから流出するとします。

流量や比熱などは図の通りとします。

この定常状態から入口温度が$\Delta{T_1}$、設定値を$\Delta{T_G}$だけ変わった場合、制御すべきスチーム流量$\Delta{V}$や流出温度の変化$\Delta{T}_2$を考えましょう。

まず、タンクにおけるヒートバランスを考えると、$V\frac{\text{d}T_2}{\text{d}t}=Q_H\Delta{V}+W[\Delta{T_1}-\Delta{T_2}]$です。

これは熱量と比熱の関係式だね。

また、設定変更値$\Delta{T}_G$と流出温度変化量$\Delta{T}_2$との偏差を$\Delta{e}=\Delta{T}_G-\Delta{T}_2$とすると、スチームを比例制御$\Delta{V}=K\cdot\Delta{e}$で制御するとします（比例定数$K=0.1$）。

例えば、設定値は変えず（$\Delta{T_G}=0$）、流入温度が外乱によって$5\unicode{x2103}$上昇（$\Delta{T_1}=\delta{T}=5$）した場合の流出温度変化量（$\Delta{T_2}$）をシミュレーションしてみましょう。

シミュレーションの結果は上の通りです。制御がない場合、最終的に$\Delta{T}_2$は$\Delta{T}_1=5$と同じところに漸近しますが、比例制御$K=0.1$を行うことで、$\Delta{T}_2$を小さくすることが可能です。

逐次シミュレーションはエクセルでできます

ブロック線図はプロセスの関係式に由来します

では、この制御をブロック線図を利用して調べてみましょう。

まず、ヒートバランスと比例制御をブロック線図で表すために、2つの式をラプラス変換をします。すると、$Vs\Delta{T_2}=Q_H\Delta{V}+W[\Delta{T_1}-\Delta{T_2}]$、$\Delta{V}=K\cdot{\Delta{e}}$となります。

ラプラス変換によって$\Delta{T}_2$などの変数は$t$から$s$に変わることに注意です。

この2つの数式は整理するとブロック図でそれぞれ次のように表すことができます。

ループを使うことでこの2つの図は1つにまとめることができます。

これがタンクの温度コントロールのブロック線図です

つまり、ブロック線図の伝達要素$G(s)$や$C(s)$などは、そのプロセス制御の関係式（ヒートバランスなど）をラプラス変換した係数に由来します。

折角なので、このブロック線図から$\Delta{T}_2(t)$の振る舞いを調べましょう。ブロック線図の出口部分に着目すると$\Delta{T}_2=\frac{(\Delta{T}_G-\Delta{T}_2)KQ_H+W\Delta{T_1}}{Vs+W}$と方程式を立てることができます。

いま、設定温度は変化させず（$\Delta{T}_G=0$）、流入温度の外乱がステップ状$\Delta{T}_1=\frac{\delta{T}}{s}$とすると、最終的に$\Delta{T_2}=\frac{W}{W+KQ_H}\delta{T}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{W+KQ}{V}})$になります。

$\Delta{T}_2={G(s)}\cdot{\Delta{T_1}}$の形にすると$G(s)=\frac{W}{W+KQ_H}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{W+KQ_H}{V}})$になります。

$\Delta{T_2}(s)$から$\Delta{T_2}(t)$に戻す（逆ラプラス変換）と、$\Delta{T}_2=\frac{W}{W+KQ_H}\delta{T}[1-\exp(-\frac{W+KQ_H}{V}t)]$となります。これは先ほどの逐次シミュレーション結果と全く同じように振舞います。