【誘電体の基本式】「デバイの式」を基本・導出から応用まで解説

デバイの式は分子の極性を表す比誘電率$\epsilon_r$と分子の電気的性質である双極子モーメント$\mu$、分極率$\alpha$を定量的に結びつける基本的関係式です。

このページでは、双極子モーメント$\mu$と分極率$\alpha$の復習から始めて、誘電体理論の基本式である「デバイの式」を導くための仮定と詳細な導出方法を解説し、ショウノウへの利用例まで紹介します。

【復習】双極子モーメントと分極率について

双極子モーメント

「双極子モーメント$\mu$」は化学者にとって結構なじみのある言葉ではないでしょうか？

異なる原子（例えば酸素Oと水素H）が化学結合するとき、電気陰性度の高い原子に電子が引き寄せられるために、電子の偏りが生まれます。この電子の偏りを表す量が（永久）双極子モーメント$\mu$です。

分極率

「分極率$\alpha$」は化学者にとってなじみが少ない方も多いのではないでしょうか？

分極率$\alpha$は双極子モーメント$\mu$の兄弟のようなものです。電場$E$を分子にかけると、永久双極子モーメント$\mu$とは別の双極子モーメント$\mu^\prime$（誘起双極子モーメント）が誘起されます。誘起双極子モーメント$\mu^\prime$の発生率を表すのが分極率$\alpha$と呼ばれるものです。$\mu^\prime=\alpha\cdot{E}$

デバイの式

双極子モーメント$\mu$や分極率$\alpha$はミクロな世界の物理量なので、直接測定することは困難です。そのため、実験的に求められる比誘電率$\epsilon_r$を経由して求める必要があります。

この双極子モーメント$\mu$と分極率$\alpha$（ミクロな量）と比誘電率$\epsilon_r$（マクロな量）をつなぐ式が「デバイの式」$\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}=\frac{\rho{N_A}}{3M\epsilon_0}\Bigl(\alpha+\frac{\mu^2}{3k_BT}\Bigl)$です。

デバイの式を導くための仮定は次の2つです。

この式を利用することで、様々な温度$T$で測定した比誘電率$\epsilon_r$を用いて、$\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}$を$\frac{1}{T}$に対してプロットすることで未知量である双極子モーメント$\mu$や分極率$\alpha$を求めることができます。

実際の測定結果（ショウノウ）

実際に、ショウノウ（分子量$M=152.23\text{g}/\text{mol}$）の実験結果を使って、双極子モーメント$\mu$と分極率$\alpha$を求めてみましょう。

デバイの式を変形した$\frac{M\epsilon_0}{\rho{N_A}}\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}=\frac{\mu^2}{3k_B}\frac{1}{T}+\alpha$を利用します。

$\rho$と$\epsilon_r$の測定結果を用いて、$\frac{M\epsilon_0}{\rho{N_A}}\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}$を$\frac{1}{T}$に対してプロットすると、傾き$4.65*10^{-37}$、切片$3.68*10^{-39}$の直線が得られます。

この傾きと切片を利用することで、双極子モーメントは$\mu=\sqrt{3k_B*4.65*10^{-37}}$$=4.38*10^{-30}(\text{C}\cdot\text{m})=1.33(\text{D})$で、分極率は$\alpha=3.68*10^{-39}(\text{C}\cdot\text{m}^2/\text{V})$$=3.31*10^{-23}(\text{cm}^3)$であることが導かれます。

まとめ

このページでは、双極子モーメント$\mu$と分極率$\alpha$の復習から始めて、誘電体理論の基本式である「デバイの式」を導くための仮定と詳細な導出方法を解説し、ショウノウへの利用例まで紹介しました。

デバイの式は分子の極性を表す比誘電率$\epsilon_r$と分子の電気的性質である双極子モーメント$\mu$、分極率$\alpha$を定量的に結びつける基本的関係式です。

関係式の係数に$2$や$3$が、符号には$+$と$-$が混在しますので、導出方法がわからなくなったらまたこのページで確認してください。