このページでは比較的難しい熱力学における関係式の証明問題を解説します。
熱力学の関係式を証明するほとんどの問題は別ページで紹介した「4つの方針」に従うと簡単に証明することができます。
このページでは「4つの方針に則って」次の4問を証明します。
$C_P=C_V+\Bigl[V-\Bigl(\frac{\partial{H}}{\partial{P}}\Bigl)_T\Bigl]\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{T}}\Bigl)_V$を示せ。
$\Bigl(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\Bigl)_T=\frac{C_P-C_V}{\beta{V}}-P$を示せ。ただし、$\beta$は膨張率$\beta=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\Bigl)_P$である。
$\frac{C_P}{C_V}=\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{V}}\Bigl)_S\Bigl{/}\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{V}}\Bigl)_T$を示せ。
$C_P-C_V=C_V\Bigl(\frac{\kappa_T}{\kappa_{ad}}-1\Bigl)$を示せ。ただし、$\kappa$は圧縮率$\kappa=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial{V}}{\partial{P}}\Bigl)$である。
問題１
$C_P=C_V+\Bigl[V-\Bigl(\frac{\partial{H}}{\partial{P}}\Bigl)_T\Bigl]\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{T}}\Bigl)_V$を示せ。
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問題２
$\Bigl(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\Bigl)_T=\frac{C_P-C_V}{\beta{V}}-P$を示せ。ただし、$\beta$は膨張率$\beta=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\Bigl)_P$である。
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問題３
$\frac{C_P}{C_V}=\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{V}}\Bigl)_S\Bigl{/}\Bigl(\frac{\partial{P}}{\partial{V}}\Bigl)_T$を示せ。
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問題４
$C_P-C_V=C_V\Bigl(\frac{\kappa_T}{\kappa_{ad}}-1\Bigl)$を示せ。ただし、$\kappa$は圧縮率$\kappa=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial{V}}{\partial{P}}\Bigl)$である。
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